Procesamiento Digital de Señales   28 Apr 2007 - Tech

Una señal es una magnitud física que varía en el tiempo y que lleva información, generalmente acerca del estado o comportamiento de un sistema. Un sistema digital es cualquier dispositivo destinado a la generación, transmisión, procesamiento o almacenamiento de señales digitales. Una señal digital corresponde a magnitudes físicas limitadas a tomar sólo unos determinados valores discretos (por ejemplo, la lógica binaria 0-1 que podría corresponderse con el estado cerrado-abierto de una válvula, que sería el sistema). A diferencia de éstas, las señales son analógicas cuando las magnitudes de las mismas se representan mediante variables continuas, que pueden tomar cualquier valor en cada instante. Cuando los datos son transmitidos usando métodos analógicos, una cierta cantidad de 'ruido' entra dentro de la señal debido a diversas causas: datos transmitidos por radio pueden tener una mala recepción o sufrir interferencias de otras fuentes de radio; pulsos eléctricos que son enviados por cables pueden ser atenuados por la resistencia de los mismos, y dispersados por su capacitancia, y variaciones de temperatura pueden incrementar o disminuir estos efectos. La idea es que cualquier variación puede proveer una gran cantidad de distorsión en una señal analógica. En el caso de las señales digitales, las pequeñas variaciones en la señal pueden ser ignoradas de forma segura ya que cualquier señal cercana a un valor particular será interpretada como ese valor.

En el mundo real, las señales (tales como sonido y ondas de radio) se originan en forma analógica (su naturaleza es continua, no discreta). Como se sabe, una señal analógica es continua en el tiempo; cambia suavemente desde un estado a otro. Los computadores digitales, por otro lado, manejan la información discontinuamente, como una serie de números binarios, por lo que se hace necesario como primera etapa en la mayoría de los sistemas transformar las señales analógicas (continuas) en digitales (discretas). Esta transformación la hacen los Conversores Analógico – Digital (ADC, en inglés). Cuando se desea convertir una señal analógica a una digital, para ser procesada por otros sistemas digitales, algunos datos pueden perderse. El conversor analógico-digital sólo tiene una cierta resolución (por ejemplo, el CCD en una cámara digital será únicamente capaz de detectar 256 intensidades de un mismo color en una resolución de un megapixel, el ojo humano es capaz de detectar 10.000 intensidades etc).
Para hacer esta conversión se realiza un muestreo (toma de muestras cada cierto tiempo) a una determinada frecuencia (en inglés sampling, un ejemplo de muestreo lo tenéis en la imagen de arriba). Pero entre muestra y muestra puede perderse información. El Criterio de Nyquist afirma que cuando se muestrea una señal, la frecuencia de muestreo debe ser mayor que dos veces el ancho de banda de la señal de entrada para poder reconstruir la señal original de forma exacta a partir de sus muestras (el ancho de banda es la anchura, medida en herzios, del rango de frecuencias en el que se concentra la mayor parte de la potencia de la señal). También se puede enunciar de la siguiente forma: la señal se podrá reconstruir si su espectro frecuencial no tiene componentes por encima de la frecuencia de Nyquist (que es dos veces la frecuencia natural del sistema). Aclaraciones para entender esto:
El espectro frecuencial es un diagrama que muestra la amplitud en decibelios y la frecuencia de cada componente de la descomposición en serie de Fourier (lo que Fourier dijo es que cualquier señal se puede descomponer en una suma de senoidales y cosenoidales, una de las cuales una será la fundamental y el resto conformarán los armónicos, más un valor de continua). Otro detalle a tener en cuenta es que si la descomposición en serie es infinita y el espectro frecuencial tiene por tanto infinitas componentes, tendrá con total seguridad componentes por encima de Nyquist y por tanto no se podrá muestrear en condiciones, lo que nos fuerza a usar filtros (Bessel, Butterworth, Chebyshev etc) que nos conviertan nuestra señal de banda ilimitada en limitada (con un número de componentes finitas en su espectro).

Una vez terminada la etapa de conversión analógica – digital, los datos están en condiciones de ser procesados. Eventualmente se deberá devolver los datos ya procesados para lo cual es necesaria una etapa final que transforme el formato digital a analógico (el proceso inverso). Por ejemplo, una señal de audio puede ser adquirida y filtrada para eliminar en gran medida ruido, crujidos de estática, amplificar ciertas frecuencias de interés, eliminar otras, remover interferencias, encriptar información, analizar una corriente compleja en sus componentes esenciales etc. Luego la información mejorada puede ser devuelta a través de una conversión digital – analógica. Ejemplos de aplicaciones de este tipo de tratamiento: eliminar el eco en las líneas de comunicaciones, lograr hacer más claras imágenes de órganos internos en los equipos de diagnóstico médico, cifrar conversaciones en teléfonos móviles para mantener privacidad o la seguridad en transmisiones policiales, LAN inalámbricas, reconocimiento de voz, control de motores, automatización de fábricas, reproductores digitales de audio, etc.

El procesamiento digital de señales es por tanto una técnica que convierte señales de fuentes del mundo real (usualmente en forma analógica), en datos digitales que luego pueden ser analizados. Si en la naturaleza las señales son analógicas, ¿porqué realizar transformaciones a señales digitales para hacer el procesado? Este análisis es realizado en forma digital pues una vez que una señal ha sido reducida a valores numéricos discretos, sus componentes pueden ser aisladas, analizadas y reordenadas más fácilmente que en su primitiva forma analógica. Muchas son las ventajas de la 'digitalización':

- Se facilita su transmisión o almacenamiento.
- Es posible realizar mediante procesamiento digital acciones imposibles de obtener mediante el procesamiento analógico (por ejemplo, filtros con respuesta de frecuencia arbitraria).
- Es más cómodo de realizar y más barato de implementar que en el procesamiento analógico.
- Las señales digitales requieren usualmente menos ancho de banda y pueden ser comprimidas.

En conclusión, una señal digital es más fácil de procesar que una analógica. La única pega es la pérdida (ruido de cuantificación) de información al convertir la información continua en discreta, pero como ya vimos este problema se puede capear dependiendo del tipo de señal.

En estricto rigor, el procesamiento digital de la señal se refiere al procesamiento electrónico de señales tales como sonido, radio y microondas usando técnicas matemáticas para realizar transformaciones o extraer información. En la práctica esta operación o transformación de la señal se hace en un hardware digital según unas reglas bien definidas las cuales son introducidas al hardware a través de un software específico que puede o no manejar lenguajes tanto de alto como de bajo nivel. Los dispositivos hardware adecuados para esto son los DSP (Digital Signal Processors, procesadores digitales de señal). Algunos conocidos son los DSPic de Microchip (que utiliza MPLAB como software de desarrollo integrado) o los TMS de Texas Instruments. Este proceso deberá ser realizado en tiempo real, lo cuál es muy rápido. Por ejemplo: los equipos de stereo manejan señales de sonido arriba de los 20 kilohertz (20.000 ciclos por segundo, que es aproximadamente la frecuencia hasta la que nuestro oído trabaja), necesitando así que el DSP realice miles de millones de operaciones por segundo (MIPS).

Uno de los beneficios principales del procesamiento digital es que las transformaciones de señales son más sencillas de realizar que con métodos analógicos. Una de las más importantes transformadas es la Transformada de Fourier discreta (DFT). Esta transformada convierte la señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La DFT permite un análisis más sencillo y eficaz sobre la frecuencia, sobre todo en aplicaciones de eliminación de ruido y en otros tipos de filtrado. Existe un algoritmo de cálculo de DFT muy eficiente que se conoce como FFT (fast fourier transform) y que es la base matemática de casi cualquier análisis de señal hoy en día. Otra de las transformadas importantes es la Transformada de Coseno Discreta la cual es similar a la anterior en cuanto a los cálculos requeridos para obtenerla, pero esta convierte a las señales en componentes solamente del coseno trigonométrico. Esta transformada es una de las bases del algoritmo de compresión de imágenes JPEG y de video MPEG. También debe sonaros la Transformada Z, que convierte una señal que esté definida en el dominio del tiempo discreto (que es una secuencia de números reales) en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar 'Transformada S' a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido 'Transformada de Laurent', ya que está basada en las series de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

Un ejemplo gráfico de todo esto y que todos conocéis es el ecualizador: el ecualizador es un procesador de la señal de audio. Se trata de un dispositivo que permite ecualizar la señal de audio. En concreto, permite modificar el contenido en frecuencias de la señal que procesa, para ello, cambia las amplitudes de sus coeficientes de Fourier lo que se traduce en diferentes volúmenes para cada frecuencia, con lo que se pueden variar de forma independiente la intensidad de los tonos básicos. Pronto profundizaré más en este tema bajo el tópico la física de la música. Hay que señalar que ciertos modelos de ecualizadores gráficos en lugar de actuar sobre la amplitud actúan sobre la fase de las señales que procesan.

Con el creciente fanatismo generado por la Fórmula 1 seguro que habéis oído hablar de la telemetría, una tecnología estrechamente relacionada con el procesamiento de la señal. La telemetría permite la medición remota de magnitudes físicas (señales) y el posterior envío de la información (de nuevo señales) hacia el operador del sistema. El envío de información hacia el operador en un sistema de telemetría se realiza típicamente mediante comunicación inalámbrica, aunque también se puede realizar por otros medios (teléfono, redes de ordenadores, enlace de fibra óptica, etc). La telemetría se utiliza en grandes sistemas, tales como las naves espaciales, plantas químicas o en la perforación de pozos petrolíferos, debido a que facilita la monitorización automática y el registro de las mediciones, así como el envío de alertas, con el fin de que el funcionamiento sea seguro y eficiente. Como en otros campos de las telecomunicaciones, existen estándares internacionales para el equipamiento y para los programas de telemetría. Se utiliza en infinidad de campos, tales como la exploración científica con naves tripuladas o no (submarinos, aviones de reconocimiento, lanzaderas espaciales y satélites), diversos tipos de competición (Fórmula 1 y MotoGP), o dar sustento a la operación de embalses. En la imagen, el equipo McLaren Mercedes observando la telemetría con su equipo de servidores Sun Microsystems, las señales de posición del acelerador, fuerza G (fuerza medida en múltiplos de la fuerza que produce la gravedad terrestre en un objeto a nivel del mar) y velocidad de un Ferrari, y por último, una captura de pantalla de la telemetría del equipo Renault (que usa un cluster IBM e1350 con Linux, basado en los servidores eServer e325 y e326 de IBM con procesadores Opteron de AMD), al que se podía acceder de forma pública.

El procesamiento digital de señal se usa en control digital, algo de lo que se podría hablar otro tanto; solo mencionar que es el equivalente al control automático continuo (diseño de reguladores continuos) basado en el estudio tiempo continuo-frecuencia, a diferencia de que al trabajar con señales discretas en vez de continuas, el aparato matemático cambia (del dominio s al z). Aquí es importante mencionar la existencia de los filtros digitales. Un filtro es un sistema que, dependiendo de algunos parámetros, realiza un proceso de discriminación de una señal de entrada obteniendo variaciones en su salida. Los filtros digitales tienen como entrada una señal analógica o digital y a su salida tienen otra señal analógica o digital, pudiendo haber cambiado en amplitud, frecuencia o fase dependiendo de las características del filtro. Hay varios tipos de filtros así como distintas clasificaciones para estos filtros, como por ejemplo la que lo hace de acuerdo con la parte del espectro que dejan pasar y la parte que atenúan: filtros pasa alto, filtros pasa bajo y filtros pasa banda. El estudio y análisis de los filtros digitales, junto con los problemas de detección, estimación, promediado y predicción lineal, conforman lo que se denomina tratamiento digital de señales, fundamental en el área de las comunicaciones.

La policía científica (del cuerpo de policía nacional) tiene una división llamada Acústica Forense cuyo trabajo se basa fundamentalmente en las técnicas de procesamiento digital. Puedes encontrar más información en esta web.
Un instrumento muy utilizado en esta industria es el analizador de espectros. Un analizador de espectro es un instrumento electrónico que permite visualizar en una pantalla las componentes espectrales de las señales presentes en la entrada, pudiendo ser ésta cualquier tipo de ondas eléctricas, acústicas u ópticas. En el eje de ordenadas suele presentarse en una escala logarítmica el nivel en dB del contenido espectral de la señal. En el eje de abscisas se representa la frecuencia, en una escala que es función de la separación temporal y el número de muestras capturadas.

Un libro muy recomendado y práctico sobre el procesado digital que os podéis descargar gratis es la Dspguide (The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing By Steven W. Smith, Ph.D.). Bien conocidos en el campo son también los libros del profesor de ingeniería eléctrica en el MIT Alan V. Oppenheim: Discrete-Time Signal Processing y Signals and Systems. Aquí os refiero algunos vínculos interesantes sobre el tema:

Laboratorio Web de Procesamiento Digital
Base de Datos de Procesamiento Digital (SPIB)
Signal Processing Society del IEEE
Foro de Escaneadores de Frecuencias

En ésta última están elaborando un tutorial muy práctico sobre radioescuchas y con mucha información sobre escáneres de frecuencias (que no dejan de ser receptores de radio de alta sensibilidad). Aprovecho este párrafo-misceláneo para mencionar algunos softwares para investigación en este campo: Matlab con la herramienta Simulink, Sciworks Datawave Tech, LabVIEW (para diseño de filtros) y un analizador de espectros para señales de audio muy simple pero útil, el PAS Spectrum Analyzer.

La función impulso unitario o delta de Dirac es una señal que idealmente se puede definir como una función ð(x) que tiene un valor infinito en x = 0, tiene un valor nulo en cualquier otro punto y su integral es uno para todo x. Esta función es muy importante en este tipo de estudios porque una señal discreta cualquiera es un conjunto de valores en el tiempo que puede representarse como la suma de impulsos individuales. En el caso de sistemas que son lineales e invariantes en el tiempo y aplicando el teorema de superposición podremos calcular la respuesta del sistema considerando la señal de entrada como la suma de impulsos individuales anteriormente mencionada. Por tanto, el cálculo de la salida (la respuesta del sistema) se reduce a una operación entre entrada (considerada como suma de impulsos) y la ecuación propia del sistema (que previamente se transformó al dominio de la frecuencia compleja z dándonos como resultado lo que se conoce como función de transferencia en el plano complejo z). Esta operación recibe el nombre de convolución. En el caso continuo el concepto es parecido, aunque las operaciones se hacen en el dominio de la frecuencia compleja s. El tiempo deja de ser discreto (secuencia de números reales k) para ser continuo (t). Las operaciones son un poco más complejas pero los resultados son similares. La conclusión de todo esto es que conociendo la respuesta de un sistema al impulso, conoceremos la respuesta frente a cualquier señal, sin más que descomponer la misma en impulsos individuales.

Otra forma de ver esta afirmación la tenemos en el dominio frecuencial; una señal impulso posee componentes frecuenciales en todo el espectro y además de la misma amplitud (espectro plano). Al introducir un impulso en un sistema estamos probándolo para todas las frecuencias posibles; la salida tendrá el espectro de la entrada modificado por el sistema. Las alternativas posibles para obtener la respuesta impulsional de un sistema real son:

- Generar un impulso (en el caso de audio existe la posibilidad de hacerlo con un arma de fuego disparada sobre un medio mecánicamente absorbente como la arena, aunque en la práctica los resultados obtenidos no han sido del todo satisfactorios, debido a que el espectro de estos sonidos impulsionales no solo no es blanco sino que decae fuertemente al aumentar la frecuencia). A continuación se verá lo que es un ruido blanco.

- Generar una delta digital (una única muestra de amplitud 'alta') a través de un altavoz de respuesta plana en todo el espectro audible. La señal puede ser elaborada con cualquier editor de señal y grabada en formato digital (sobre un DAT).

- Generar ruido blanco (otra señal que también posee espectro plano):

El ruido blanco es una señal aleatoria (un proceso estocástico) que se caracteriza porque sus valores de señal en dos instantes de tiempo diferentes no guardan correlación estadística. Aclarar que un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias indexadas por una variable (continua o discreta), generalmente, el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no; un ejemplo de proceso estocástico es el índice IBEX35 de la bolsa. Cuando la correlación es nula entre valores de la señal, el proceso estocástico se denomina ruido blanco. Como consecuencia de ello, su densidad espectral de potencia (PSD, Power Spectral Density, es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación) es una constante (su gráfica es plana). Esto significa que la señal contiene todas las frecuencias (como la delta) y todas ellas tienen la misma potencia (nótese que la autocorrelación de cualquier proceso estocástico blanco es una delta). Lo mismo ocurre con la luz blanca, de ahí su nombre.

Si la PSD no es plana entonces se dice que el ruido está 'coloreado' (correlacionado). Dependiendo de la forma que tenga la gráfica de la PSD del ruido se definen diferentes colores. Uno muy conocido es el rosa, cuyo espectro de frecuencias es tal que su densidad espectral de potencia es proporcional al recíproco de su frecuencia (su contenido de energía por frecuencia disminuye en 3dB por octava, como ya dije, veremos más sobre esto en la física de la música).

Esta imagen también es ruido blanco, sus píxeles no guardan correlación entre sí y por tanto su densidad espectral de potencia es constante. Si la imagen fuese en color, entonces la 'nieve' sería de colores aleatorios. Esta es la típica imagen que se ve en la pantalla de un televisor analógico cuando no está sintonizado en ningún canal. La señal que recibe entonces el demodulador puede considerarse como ruido blanco, ya que es el resultado de sumar el ruido electromagnético del canal de radio más el que generan los propios circuitos electrónicos del televisor, múltiples interferencias de baja intensidad todas ellas independientes entre sí, etc.

Por mencional algunas de las aplicaciones del ruido blanco:

- Procesado de señal: en general, el ruido blanco tiene muchas aplicaciones en procesado de señal: determinar la función de transferencia de cualquier sistema lineal e invariante con el tiempo (por ejemplo en acústica arquitectónica la función de transferencia se usa para medir el aislamiento acústico y la reverberación de la sala); sintetizar el sonido de instrumentos de percusión, o los fonemas sordos /s/ /t/ /f/ (muy usado en música electrónica) etc. También se puede usar para mejorar las propiedades de convergencia de ciertos algoritmos de filtrado adaptativo mediante la inyección de una pequeña señal de ruido blanco en algún punto del sistema.

-Generación de números aleatorios: el ruido blanco generado por ciertos procesos físicos naturales o artificiales se usa como base para la generación de números aleatorios de calidad puesto que es una fuente de entropía (en termodinámica, medida de la uniformidad de la energía de un sistema, lo que se interpreta a veces como el grado de desorden generado en el universo al producirse un cambio energético en un sistema, y lo que se extrapola, en teoría de la información, a el grado de incertidumbre que existe sobre un conjunto de datos; véase Entropía Wiki). Próximamente más información sobre teoría númerica y la naturaleza de Pi.

- Uso en vehículos de emergencia: algunos vehículos de emergencia lo usan debido a que es fácil distinguirlo del ruido de fondo y no queda enmascarado por el eco, por lo que es más fácil su localización espacial.

- Uso en personas: puede ser usado para desorientar a personas antes de un interrogatorio y como técnica de privación sensorial. Por otra parte, algunos estudiosos del tema dicen que el ruido blanco de baja intensidad puede favorecer la relajación y el sueño (en algunas tiendas pueden comprarse CDs con largas secuencias de ruido blanco). De nuevo por contra y según indican investigadores de la Universidad de California, en San Francisco, la exposición al ruido blanco continuo sabotea el desarrollo de la región auditiva del cerebro que, en última instancia, puede deteriorar la adquisición de la audición y del lenguaje. Podéis descargar desde aquí una pequeña secuencia de ruido blanco para escuchar, en formato mp3.

- Reconocimiento de voz:
Todo lo relacionado con variables aleatorias, procesos estocásticos etc. es muy importante en el campo del reconocimiento de voz, que es precisamente lo que hacen en la división de acústica forense de la policía científica. Los modelos que existen para caracterizar señales, pueden clasificarse de modo general en determinísticos y estocásticos (o de señales aleatorias). Esta clasificación se basa en la naturaleza de la señal tratada. Los modelos determinísticos utilizan propiedades conocidas de la señal, para poder así estimarla de forma inmediata (ejemplo: onda senoidal, la cual puede caracterizarse por amplitud, fase y frecuencia). Por otra parte, los modelos estocásticos estiman propiedades estadísticas de las señales (series de Gauss, series de Poisson, etc). Se asume que la señal modelada puede caracterizarse como una serie paramétrica aleatoria, y los parámetros de la serie aleatoria pueden estimarse de manera definida y precisa. Por esto los modelos estocásticos son una aproximación particularmente adecuada para el reconocimiento de voz.

El modelo estocástico más popular empleado en el reconocimiento de voz es el HMM (procesos discretos y cadenas ocultas de Markov). Los HMMs se han utilizado en diversas aplicaciones como sistemas de comunicación, biología molecular (para el análisis de las secuencias de ácidos proteicos y nucléicos), etc. A este modelo se le llama 'oculto' (hidden), en el sentido en que la secuencia de estados que producen una secuencia de patrones determinada, no puede ser observada/determinada. Dependiendo de cómo evolucionen los estados, podemos hablar de HMMs ergódicos (cualquier estado se puede alcanzar desde cualquier otro estado) o HMMs left-to-right (donde el modelo únicamente lleva a cabo transiciones hacia delante). Una característica importante es que estos sistemas tienen un futuro independiente del pasado, lo cual no ocurre en Redes Neuronales. Las Redes Neuronales, que aún conforman un paradigma computacional, quizá sean en el futuro la vía más adecuada para las técnicas de reconocimiento de voz. El modelado y entrenamiento de redes neuronales artificiales tiene una aplicación importante en el tratamiento digital de señales y en su uso en comunicaciones. Véase el artículo de Redes Neuronales e Inteligencia Artificial para más información.

Después de toda esta explicación acerca del ruido blanco volvamos a la cuestión de porqué es útil para generar la respuesta impulsional de un sistema: por medio del ruido blanco se puede obtener la convolución de la respuesta impulsional con una señal aleatoria. Para obtener la respuesta impulsional es necesario, pues, realizar la deconvolución, y para ello es necesario disponer de la señal aleatoria generada (hay que grabar la señal original y la respuesta). Puesto que las señales aleatorias tienen espectro perfectamente plano solo si son infinitas (y esto es muy incómodo en la práctica) se ha de buscar un método que permita tener el espectro plano buscado con una longitud de señal manejable. Aquí es donde entra el método de generación de señales pseudoaleatorias y el estudio de ventanas de señal, en lo que profundizaremos a continuación al hablar de la transformada wavelet y el estudio de señales biomédicas. Antes de finalizar con el estudio impulsional es importante mencionar lo que este análisis conlleva en el diseño de filtros y su clasificación, pudiendo encontranos con:

- Filtros FIR (acrónimo inglés de Finite Impulse Response o Respuesta finita al impulso): se trata de un tipo de filtros digitales en el que, como su nombre indica, si la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número finito de términos no nulos. Estos filtros se caracterizan por ser estables (sus polos, raíces del denominador de su función de transferencia, se encuentran en la región estable de su plano complejo z, es decir, la circunferencia de radio unidad) con lo que tienen la gran ventaja de que pueden diseñarse para ser de fase lineal. La desventaja es que necesitan un orden mayor que los de respuesta infinita, y por tanto, mayor gasto computacional. Para su diseño se pueden emplear diversos métodos como el muestro en frecuencia o nuevamente, la aproximación de Chevyshev.

- Filtros IIR o de respuesta infinita al impulso: si la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número infinito de términos no nulos, es decir, nunca vuelve al reposo. Este filtro puede ser inestable si tiene polos fuera de la circunferencia unidad, pero por contra puede cumplir las mismas especificaciones que el FIR con un orden menor. En principio no pueden diseñarse para tener fase lineal pero se pueden aplicar algunas técnicas como el filtrado bidireccional para lograrlo.

A modo de anotación y en tanto mencionamos la función de transferencia (relación entre las variables de salida y entrada de un sistema extraídas de su ecuación o ecuaciones y transformadas al dominio de la frecuencia compleja), deberá sonaros el Diagrama de Bode. Un Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la función de transferencia de un sistema en función de la frecuencia. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que correspondonde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en electrónica, siendo fundamental para el diseño y análisis de filtros y amplificadores, pero se utiliza en otras muchas ramas, sobre todo de ingeniería (se utiliza en la ITV, por ejemplo, para realizar el control de alguno de los sistemas del automóvil). El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo. Es importante no confundirlo con el espectro frecuencial. El Bode representa en su eje de ordenadas una ganancia, una relación entre salida y entrada de un sistema, que es representada mediante la función de transferencia. El espectro de frecuencias nos representa en tanto la amplitud de una señal determinada, no de una relación entre dos de ellas. En la imagen podéis ver un diagrama de bode magnitud-frecuencia de un sistema en el que se observa un pico de resonancia, un fenómeno al que por su importancia dedicaré pronto un artículo.

Un proyecto relacionado con este campo es el SETI, acrónimo del inglés Search for Extra Terrestrial Intelligence, o Búsqueda de Inteligencia Extraterrestre. Existen numerosos proyectos SETI, que tratan de encontrar vida extraterrestre inteligente, ya sea por medio del análisis de señales electromagnéticas capturadas en distintos radiotelescopios, o bien enviando mensajes de distintas naturalezas al espacio con la esperanza de que alguno de ellos sea contestado (el SETI tiene reservado un rango de frecuencias para escucha/emisión de tal modo que no tengan que discriminar las señales terrestres).

Los radiotelescopios son unas antenas parabólicas enormes y su funcionamiento es como el de un telescopio convencional, pero en vez de recibir luz y focalizarla en tu retina, reciben ondas electromagnéticas distintas (de otras frecuencias) y hacen un procesado digital para estudiar la señal y extraer información muy variada relacionada con la astrofísica, comunicaciones vía satélite etc (algunos radiotelescopios conocidos son el radiotelescopio Parkes de Australia [en la imagen], que recibió la señal de imagen de Armstrong pisando la Luna por primera vez, la antena de Arecibo en Puerto Rico, que se usa para el SETI, el Very Large Array en USA, que ocupa el logotipo de esta página web, y por mencionar alguno español, el del Centro Yebes, que tiene 40m de diámetro, en las Islas Canarias).

Los primeros proyectos SETI surgieron bajo el patrocinio de la NASA durante los años 1970. Uno de los proyectos más famosos, Seti@Home, está siendo apoyado por millones de personas de todo el mundo mediante el uso de sus computadoras personales, que procesan la información capturada por el radiotelescopio de Arecibo. Seti@Home es un ejemplo de la tecnología Grid, nacida en el CERN y de la que ya hemos hablado (Grid significa 'computación distribuida' o 'informática en rejilla', y es un nuevo modelo para resolver problemas de computación masiva utilizando un gran número de computadoras organizadas en racimos incrustados en una infraestructura de telecomunicaciones distribuida). Sobre todo esto os recomiento la novela de ficción de Carl Sagan Contact, y también la película basada en la misma, dirigida en 1997 por Robert Zemeckis y protagonizada por Jodie Foster, que fué dedicada al mismo Carl Sagan.

En otro orden de cosas y por mencionar la línea que está siguiendo actualmente esta materia voy a hablar un poco de los wavelet, un concepto relativamente nuevo (unos 10 años) y puntero en el ámbito de la teoría de la señal.

La transformada wavelet (ondículas u ondeletas) representa una señal en términos de versiones transladadas y dilatadas de una onda finita (denominada wavelet madre). Todas las transformaciones wavelet pueden ser consideradas formas de representación en tiempo-frecuencia y, por tanto, están relacionadas con el análisis armónico (de Fourier). Las transformadas de wavelets son un caso particular de filtro de respuesta finita al impulso (los anteriormente mencionados FIR). Las wavelets, continuas o discretas, responden al principio de incertidumbre de Hilbert (conocido por los físicos como principio de incertidumbre de Heisenberg), el cual trasladado al campo de la teoría de la señal establece que el producto de las dispersiones obtenidas en el espacio directo y en el de las frecuencias no puede ser más pequeño que una cierta constante geométrica. En el caso de las wavelets discretas, la dispersión de los coeficientes se ha de medir de acuerdo con la norma l2 (norma 2 de series numerables).

En cuanto a sus aplicaciones, la transformada wavelet discreta se utiliza para la codificación de señales (ejemplo: JPEG2000 de imagen, Vorbis II códec de audio), mientras la continua se utiliza en el análisis de señales. Este tipo de transformadas están siendo cada vez más empleadas en un amplio campo de especialidades (a menudo sustituyendo a la transformada de Fourier) incluyendo múltiples ramas de la física, como la dinámica molecular, la astrofísica, la geofísica de los seísmos, la óptica, el estudio de las turbulencias y la mecánica cuántica, así como en otros campos: comunicaciones, meteorología, análisis multifractal (véase el artículo Teoría del Caos), gráficos por ordenador, nuevamente el reconocimiento de voz y desde luego en el procesamiento de señal, más particularmente el procesamiento digital de imágenes.

Uno de los campos donde más se está extendiendo el uso de wavelets y del procesamiento de señal en general es en la medicina: análisis de sangre y de proteínas, electro-cardio/encéfalo-gramas, ecografías, tomografías axiales computerizadas (TAC), resonancia magnética nuclear (de la que ya hablamos en esta web), múltiples tratamientos de radioterapia, estudios del ADN, datos de electrofisiología (como el número de latidos, útil en el estudio de plagas o efectos de exposiciones a agentes infecciosos), bioacústica (análisis de los sonidos procedentes del cuerpo, se utiliza para diagnóstico, interacción con animales inteligentes como delfines, detectar problemas en el lenguaje etc.), biometría (el estudio de métodos automáticos para el reconocimiento único de humanos basados en uno o más rasgos conductuales o físicos intrínsecos, como las huellas dactilares, las retinas, el iris, los patrones faciales o la geometría de la palma de la mano) y el tratamiento de señales biomédicas en general, así como otros aspectos relacionados con el ámbito de la bioelectrónica o la medicina-electrónica (mapeo tridimensional de la actividad eléctrica cerebral, representación 3D de imágenes de órganos internos, modelado de fisuras [muy usado también en antropología forense], imágenes colposcopicas etc).

La razón de que el uso de los wavelets se esté extendiendo tanto en el ámbito de la medicina es que que el método tradicional de la transformada de Fourier expande la señal en funciones de base ortogonal (ondas senoidales y cosenoidales) e indica el contenido de frecuencias de la señal, pero falla en proporcionar la localización temporal de las componentes de frecuencia observadas. Sin embargo, la mayoría de las señales biomédicas son no-estacionarias y tienen características tiempo-frecuencia altamente complejas; por eso el análisis de wavelets, que se ha convertido en una poderosa alternativa para el análisis de señales no estacionarias cuyas características espectrales cambian con el tiempo, es muy adecuado para estudiar este tipo de señales.

En particular, muchas señales biológicas consisten en componentes de alta frecuencia cercanos en el tiempo de duración efímera, y en componentes de larga duración muy cercanos en frecuencia. Por lo tanto, un método apropiado de análisis debe exhibir buena resolución en frecuencia para localizar las componentes de baja frecuencia cercanamente espaciadas, y una buena resolución temporal para distinguir las componentes de alta frecuencia cercanamente espaciadas.

En la práctica, la condición de estacionariedad para señales no-estacionarias puede ser satisfecha dividiendo la señal en pequeños bloques de segmentos seudo-estacionarios. Este método, llamado Transformada de Fourier de corto plazo (Short Time Fourier Transform –STFT-), fue propuesto por Gabor en 1946. Sin embargo, el problema con la STFT es la longitud del segmento analizado. Si la ventana de análisis es muy corta puede causar una pobre resolución en frecuencia, si es muy larga puede mejorar la resolución en frecuencia pero comprometiendo la suposición de estacionariedad dentro de la ventana. Y es aquí donde entran en el juego las wavelet, ya que una manera alternativa de analizar señales biomédicas no-estacionarias es empleando la transformada Wavelet para expandir la señal en funciones base. Las funciones base pueden ser construidas expandiendo, contrayendo y desplazando una única función llamada el prototipo wavelet. El método Wavelet actua como un microscopio matemático, con el cual podemos observar diferentes partes de una señal, simplemente ajustando el foco.

Por último y y para los que quieran profundizar un poco más en el tema, aquí os pongo un programa en C (aunque este ejemplo sería fácilmente implementable en assembler) a modo de ejemplo muy básico para un procesador digital de señal dspic10f6010 del fabricante Microchip que sirve para generar una señal cuadrada en el bit de salida de peso 4 del puerto D, cambiando su estado cada 500 ciclos de instrucción mediante el temporizador TIMER1: square.txt